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2018届高考数学理科全国通用一轮总复*课件:第三章

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第二课时 两角和、差及倍角公式的应用 考向一 利用三角恒等变换化简、求值、证明 【典例1】(1)化简:sin2α · sin2β +cos2α · cos2β 1 cos2α · cos2β = . 2 (2)求证: sin(2? ? ?) ? 2cos(? ? ?) ? sin? . sin? sin? 【解题导引】(1)可以从统一角的方向求解. (2)可以从等号两边分析角的差异入手求解. 【规范解答】(1)方法一:(从“角”入手,倍角→单角) 1 2α 原式=sin2α·sin2β+cos2α·cos2β- ·(2cos 2 1)·(2cos2β-1) =sin2α·sin2β+cos2α·cos2β2cos2α-2cos2β+1) 1 2α·cos2β(4cos 2 =sin2α·sin2β-cos2α·cos2β+cos2α+cos2β=sin2α·sin2β+cos2α·sin2β+cos2β=sin2β+cos2β- 1 =1- 1 = 1 . 2 2 2 1 2 1 2 方法二(从“角”入手,单角→倍角) 1 ? cos 2? 1 ? cos 2? 1 ? cos 2? 1 ? cos 2? 1 ? ? cos 2? cos 2? 原式= 2 2 2 2 2 1 = (1+cos2α·cos2β-cos2α-cos2β)+ 1(1+ 4 4 cos2α·cos2β+cos2α+cos2β)- 1 ·cos2α·cos2β 2 =1 . 2 答案: 1 2 【一题多解】解答本题,还有以下解法: 方法一:(从“名”入手,异名化同名) 原式=sin2α·sin2β+(1-sin2α)·cos2β1 cos2α·cos2β=cos2β-sin2α(cos2β-sin2β) 2 - 1 cos2α·cos2β 2 =cos2β-sin2α·cos2β- 1 cos2α·cos2β 2 1 ? cos ? ? cos 2? (sin ? ? cos 2? ) 2 1 ? cos 2? 1 2 ? ? cos 2? [sin ? ? (1 ? 2sin 2?)] 2 2 1 ? cos 2? 1 1 ? ? cos 2? ? . 2 2 2 2 2 方法二:(从“形”入手,利用配方法,先对二次项配方) 原式=(sinα·sinβ-cosα·cosβ)2+ 1 2sinα·sinβ·cosα·cosβ- cos2α ·cos2β 1 1 sin2α·sin2β- cos2α·cos2β 2 2 =cos2(α+β)- 1 ·cos(2α+2β) 2 =cos2(α+β)- 1 ·[2cos2(α+β)-1]= 1 . 2 2 1 答案: 2 2 =cos2(α+β)+ sin(2? ? ?) ? 2sin?cos(? ? ?) (2)等式左边= sin? sin[? ? (? ? ?)] ? 2sin?cos(? ? ?) ? sin? sin?cos(? ? ?) ? cos?sin(? ? ?) ? 2sin?cos(? ? ?) ? sin? cos?sin(? ? ?) ? sin?cos(? ? ?) ? sin? ? sin[(? ? ?) ? ?] sin? =右边,所以等式成立. ? sin? sin? 【规律方法】 1.三角恒等变换的化简、求值问题的求解策略 (1)对于和、差式子,见到*方要降幂、消项、逆用公 式等. (2)对于分式,通分后分子分母化简时尽量出现约分的 式子,或逆用公式. (3)对于二次根式,要用升幂公式,或配方,出现完全* 方,注意倍角公式的逆用. (4)观察角的关系,尽量异角化同角,合理拆分角. (5)观察三角函数的名称的关系,常用弦切互化,异名化 同名. (6)观察结构特征,明确变形方向,遇到分式要通分,整 式要因式分解. 2.三角恒等式的证明方法 (1)从等式的比较复杂的一边化简变形到另一边,相当 于解决化简题目. (2)等式两边同时变形,变形后的结果为同一个式子. (3)先将要证明的式子进行等价变形,再证明变形后的 式子成立. 易错提醒:开*方时正负号的选取易出现错误,所以要 根据已知和未知的角之间的关系,恰当地把角拆分,根 据角的范围确定三角函数的符号. 【变式训练】 1.化简 2 ? cos 2 ? sin 21 的结果是( A.-cos 1 C. 3 cos 1 B.cos 1 ) D.- 3 cos 1 【解析】选C.原式= 3 ? 3sin 21 ? 3cos21 ? 3cos 1. 2.(2016· 枣庄模拟)计算sin15°sin30°sin75°的 值等于 3 A. 4 ( ) 3 B. 8 1 C. 8 1 D. 4 【解析】选C.原式= 1 sin15°cos15°= 1 2 4 ×2sin15°cos15°= 1 sin30°= 1 . 4 8 【加固训练】 1 ? sin 2? ? cos 2? 1.化简 = 1 ? sin 2? ? cos 2? ( ) D. cos? sin? A.sinα B.cosα C.tanα 2 1 ? 2sin ? cos ? ? (1 ? 2sin ?) 【解析】选C.原式= 1 ? 2sin?cos? ? (2 cos 2 ? ? 1) 2sin?cos? ? 2sin 2? ? 2sin?cos? ? 2cos 2? 2sin?(cos? ? sin?) ? ? tan?. 2cos?(sin? ? cos?) ? 4tan 12 = ( 2.(2016· 衡水模拟)计算: ? 3tan 2 ? 3 12 2 3 2 3 2 3 2 3 A. B. ? C. D. ? 3 3 9 9 ? 2tan 2 12 【解析】选D.原式= ? 3 1 ? tan 2 ? 12 2 ? 2 3



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