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高等数学-无穷级数课件[优质ppt]

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无穷级数 节数项级数及其敛散性 节幂级数 第一节 常数项级数及其敛散性 一、常数项级数及其敛散性 1.常数项级数的概念 定义1 设给定一个数列 u1,u2,u3,? ,un,? , 则表达式 u 1? u 2? u 3? ? ? u n? ? (11.1) 称为常数项无穷级数,简称数项级数,记作 ? ? un 即 n ?1 ? ? un?u1?u2?u3?? ?un?? n?1 其中第n 项 u n 称为一般项或通项. 例如,级数 1 ? 1 ? 1 ?? 1?2 2?3 3?4 的一般项为 un ? 1. n(n ?1) 又如级数 ln 1? (1 )?ln 1? (1)?ln 1? (1)?? 2 3 的一般项为 un ?ln1( ?1) n 简言之,数列的和式称为级数. 定义2 设级数的前项之和为 n Sn?u 1?u2?u3? ? ?un?? uk k? 1 称Sn为级数的前项部分和.当依次取1,2,3,…时, 新的数列 S1 ?u1 S2?u1?u2 ,…,S n? u 1? u 2? ? ? u n,…, 数列 ?Sn ?称为级数?? u n 的部分和数列.若此数列的 n ?1 极限存在,即 ln? i? mSn ?S (常数),则S 称为?? u n 的和, n ?1 记作 ? ?un ? S n ?1 此时称级数 ? ? u 收敛. n n ?1 如果数列 ?Sn ? 没有极限,则称级数 ? ? un 发散,这 n ?1 时级数没有和. 当级数收敛时,其部分和 S n 是级数和S的*似值, 称 S ?Sn 为级数的余项,记作 rn ,即 . r n? S ? S n? u n ? 1? u n ? 2? ? 例1 判定级数 ?1 ? ?1?1?1? ? ? 1 ? ? n ? 1n (n ? 1 ) 1 ?22 ?33 ?4 n (n ? 1 ) 的敛散性. 解 已知级数的前n项和是: S n ? 1 1 ?2 ? 2 1 ?3 ? ? ? n ( n 1 ? 1 )? ( 1 ? 1 2 ) ? ( 1 2 ? 1 3 ) ? ? ? ( 1 n ? n 1 ? 1 ) ?1? 1 n ?1 因为 ln? i? m Sn ?ln? i? m ???1?n1?1????1,所以这个级数收敛,其 和为1. 例3 讨论等比级数(也称几何级数) ? ? an ? 1 q ?a? a? q a2? q? ? an ? 1 q ? ? n ? 1 的敛散性. 解 (1) q ? 1 前n项和 ? ? S n? a ? a? q a2? q ? ? an ? 1 q ? a 1 1 ? ? q q n 当 q ? 1 时, lim n?? S n ? a ,所以级数 1? q 收敛,其和 S? a 1? q 当 q ?1 时,ln? i? mSn ??所以级数 ? ? aq n ?1 n?1 发散. (2) q ? 1 ? ? 当 q ? 1 时, ?aqn?1 ??a 于是 n?1 n?1 ln? i?m Sn?ln? i?m na ?? 所以级数 ? ? aq n ?1 发散. n ?1 当 q??1时,? ?aqn?1 ?? ???1?n?1,a其前n项和 n?1 n?1 ?a,当n为奇数时 Sn ???0,当n为偶数时 显然,当n→∞时,Sn没有极限.所以,级数 ? ? aq n?发1 散. n ?1 综上所述,等比级数 ? ? aq ,当 n ?1 q ? 1 时收敛, 当 q ?1 n ?1 时发散.结论记住 注意 几何级数 ? ? aq n?1 的敛散性非常重要.无论是用比 n ?1 较判别法判别级数的敛散性,还是用间接法将函 数展开为幂级数,都经常以几何级数敛散性为基础. . 2.数项级数的基本性质 性质1 如果级数 ? ? u n 收敛,其和为s, k为常数,则级数 n ?1 ? ? ku n 也收敛,其和为ks;如果级数 ? ? un 发散,当k≠0时, n ?1 n ?1 级数?? ku n也发散. n ?1 由此可知, 级数的每一项同乘以不为零的常数后,其敛散性不变. . ? ? 性质2 若级数 ? u n 与 ? v n 分别收敛于β与 ?,则级 n ?1 n ?1 数 ? ?(un ? vn ) ,收敛于 ? ?? n?1 性质3 添加、去掉或改变级数的有限项,级数的敛散 性不变. 性质4 若级数 ? ? u n 收敛,则对其各项间任意加括号后 n ?1 所得的级数仍收敛,且其和不变. 应当注意,性质4的结论反过来并不成立.即如果加括 号后级数收敛,原级数未必收敛. . 例如级数 (1-1)+(1-1)+…+(1-1)+… 显然收敛于零,但级数 1+1-1+…+1-1+… 却是发散的. 性质5(级数收敛的必要条件) 若级数 ? ? u n 收 n ?1 敛,则 lni?m ?un ?0 例5 判别级数 1?2?3?? ? n ?? 的敛散性 3 5 7 2n?1 解 因为 n1 ln? i?m un?ln? i?m 2n?1?2?0 所以级数 ? ? n 发散. n?1 2n ? 1 例6 判别级数 ? ???1?n?1 ??? 2 n?1 n?1 ?n?n1?1???? 的敛散性. 解 级数 ? ? n?1 ?? ?1 n?1 2n?1 与级数 ?? n ?1 1 n?n ? 1? 都收敛,故由性质2知, 级数 ? ???1?n?1 ??? 2 n?1 n?1 ?n?n1?1?



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